Устный тур — 2010

ТРИД­ЦАТЬ ПЕРВЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ 11 класс, устный тур, 8 мая 2010 г.

---

1. Про пи­рами­ду SA₁A₂…A_n из­вест­но, что ее ос­но­вание A₁A₂…A_n — пра­виль­ный n-уголь­ник, а все боковые грани — рав­но­бед­ренные тре­уголь­ни­ки (равные стороны не обя­затель­но с вер­ши­ной S). Обя­затель­но ли эта пи­рами­да пра­виль­ная, если
а) n=5?
б) n > 5?


2. В ки­ноте­ат­ре два зала с оди­нако­вым числом мест. В каждом зале нес­коль­ко рядов (места в любом ряду ну­меру­ют­ся подряд, начиная с единицы). Группа школь­ни­ков по­быва­ла на ут­реннем сеансе в первом зале, а на дневном сеансе — во втором, оба раза заняв все места. Из­вест­но, что в первом зале есть ряд из 10 мест, а во втором — нет. До­кажи­те, что най­дут­ся два школь­ни­ка, которые на одном из сеансов сидели в одном ряду, а на другом — имели оди­нако­вый номер места.


3. На плос­кости дана ок­ружность ω₁ радиуса 1. На одной из ее хорд, как на ди­амет­ре, пост­ро­ена ок­ружность ω₂. На одной из хорд ω₂, как на ди­амет­ре, пост­ро­ена ок­ружность ω₃, и т. д. Найдите на­иболь­шее воз­можное расс­то­яние между двумя точками, одна из которых при­над­ле­жит ω₁, а другая при­над­ле­жит ω_1000000.


4. Ладья прош­лась по шах­матной доске 8×8, не проходя дважды через одну и ту же клетку. При этом все по­воро­ты направо де­лались в черных клетках, а налево — в белых. Какое на­иболь­шее число клеток могло быть прой­де­но?


5. Саша и Люда играют в игру. Саша должен пост­ро­ить опи­сан­ный 13-уголь­ник с одной за­дан­ной сто­роной, а Люда хочет ему по­мешать. Сначала Саша на­зыва­ет номер стороны — число k от 1 до 13. Затем Люда задает длину этой стороны — дей­стви­тель­ное по­ложи­тель­ное число s. Саша вы­иг­ра­ет, если опишет теперь вокруг еди­нич­но­го круга 13-уголь­ник, где длина k-й по ве­личи­не стороны равна s. Может ли Люда ему по­мешать? (Сторона k-я по ве­личи­не, если най­дут­ся k−1 сторон не короче нее, и при этом ос­таль­ные 13−k сторон не длиннее нее).


6. Обоз­на­чим через [a₁,a₂,…,a_n] про­из­ве­дение все­воз­можных по­пар­ных раз­ностей a_i−a_j, где 1 ≤ i < j ≤ n. До­кажи­те, что для любых на­тураль­ных a₁,a₂,…,a_n число [a₁,a₂,…,a_n] делится на [1,2,…,n].