Устный тур — 2014

ТРИДЦАТЬ ПЯТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ 11 класс, устный тур, 10 марта 2014 г.

---

1. В множестве {1,2,3,…,2014} выбрали подмножество A. Оказалось, что никакой квадратный трехчлен, все три коэффициента которого принадлежат A, не имеет действительных корней. Какое наибольшее число элементов могло быть в A?

  Г. Жуков

2. Дан треугольник ABC. Луч, проведенный из вершины B через середину AC, пересекает внешнюю биссектрису угла A в точке P. Прямая PC пересекает прямую, содержащую внутреннюю биссектрису угла A, в точке Q. Докажите, что BA = BQ.

  Ф. Ивлев

3. Профессор Выбегалло написал 1001 статью. В каждой статье он может поставить ссылки на другие статьи, но никакие две статьи не должны ссылаться друг на друга. Выбегалло получит значимость k, если после этого у него будет k статей, на каждую из которых ссылаются хотя бы k статей. Какой наибольшей значимости он может добиться?

  И. Богданов, Е. Молчанов

4. В равногранном тетраэдре ABCD точки A′, B′, C′, D′ - центры вневписанных сфер. Докажите, что A, B, C, D - центры вневписанных сфер тетраэдра A′B′C′D′. (Тетраэдр называется равногранным, если его грани - равные треугольники. Вневписанная сфера - это сфера, которая касается одной из граней и продолжений остальных граней.)

  А. Заславский

5. В белом клетчатом прямоугольнике, стороны которого больше 10, в черный цвет покрасили K клеток. Далее за ход выбирают ряд (горизонтальный или вертикальный), в котором черных клеток хотя бы 10, и красят в черный цвет все белые клетки этого ряда. После нескольких таких ходов все клетки стали черными. Докажите, что K ≥ 100.

  П. Кожевников

6. Докажите, что не существует многочлена от двух переменных P(x,y), для которого множеством решений неравенства P(x,y) > 0 является квадрант {(x,y) : x > 0, y > 0}.

  Л. Стунжас

---