Устный тур — 2014
Устный тур XXXV Турнира городов прошел 10 марта 2014 г. в Москве в школе 179.
Условия и решения задач
Условия и решения задач доступны в формате pdf.
ТРИДЦАТЬ ПЯТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
11 класс, устный тур, 10 марта 2014 г.
1. В множестве {1,2,3,…,2014} выбрали подмножество A. Оказалось, что никакой квадратный трехчлен, все три коэффициента которого принадлежат A, не имеет действительных корней. Какое наибольшее число элементов могло быть в A?
2. Дан треугольник ABC. Луч, проведенный из вершины B через середину AC, пересекает внешнюю биссектрису угла A в точке P. Прямая PC пересекает прямую, содержащую внутреннюю биссектрису угла A, в точке Q. Докажите, что BA = BQ.
3. Профессор Выбегалло написал 1001 статью. В каждой статье он может поставить ссылки на другие статьи, но никакие две статьи не должны ссылаться друг на друга. Выбегалло получит значимость k, если после этого у него будет k статей, на каждую из которых ссылаются хотя бы k статей. Какой наибольшей значимости он может добиться?
4. В равногранном тетраэдре ABCD точки A′, B′, C′, D′ - центры вневписанных сфер. Докажите, что A, B, C, D - центры вневписанных сфер тетраэдра A′B′C′D′. (Тетраэдр называется равногранным, если его грани - равные треугольники. Вневписанная сфера - это сфера, которая касается одной из граней и продолжений остальных граней.)
5. В белом клетчатом прямоугольнике, стороны которого больше 10, в черный цвет покрасили K клеток. Далее за ход выбирают ряд (горизонтальный или вертикальный), в котором черных клеток хотя бы 10, и красят в черный цвет все белые клетки этого ряда. После нескольких таких ходов все клетки стали черными. Докажите, что K ≥ 100.
6. Докажите, что не существует многочлена от двух переменных P(x,y), для которого множеством решений неравенства P(x,y) > 0 является квадрант {(x,y) : x > 0, y > 0}.
1. В множестве {1,2,3,…,2014} выбрали подмножество A. Оказалось, что никакой квадратный трехчлен, все три коэффициента которого принадлежат A, не имеет действительных корней. Какое наибольшее число элементов могло быть в A?
Г. Жуков
2. Дан треугольник ABC. Луч, проведенный из вершины B через середину AC, пересекает внешнюю биссектрису угла A в точке P. Прямая PC пересекает прямую, содержащую внутреннюю биссектрису угла A, в точке Q. Докажите, что BA = BQ.
Ф. Ивлев
3. Профессор Выбегалло написал 1001 статью. В каждой статье он может поставить ссылки на другие статьи, но никакие две статьи не должны ссылаться друг на друга. Выбегалло получит значимость k, если после этого у него будет k статей, на каждую из которых ссылаются хотя бы k статей. Какой наибольшей значимости он может добиться?
И. Богданов, Е. Молчанов
4. В равногранном тетраэдре ABCD точки A′, B′, C′, D′ - центры вневписанных сфер. Докажите, что A, B, C, D - центры вневписанных сфер тетраэдра A′B′C′D′. (Тетраэдр называется равногранным, если его грани - равные треугольники. Вневписанная сфера - это сфера, которая касается одной из граней и продолжений остальных граней.)
А. Заславский
5. В белом клетчатом прямоугольнике, стороны которого больше 10, в черный цвет покрасили K клеток. Далее за ход выбирают ряд (горизонтальный или вертикальный), в котором черных клеток хотя бы 10, и красят в черный цвет все белые клетки этого ряда. После нескольких таких ходов все клетки стали черными. Докажите, что K ≥ 100.
П. Кожевников
6. Докажите, что не существует многочлена от двух переменных P(x,y), для которого множеством решений неравенства P(x,y) > 0 является квадрант {(x,y) : x > 0, y > 0}.
Л. Стунжас
Победители и призёры устного тура XXXV Турнира городов
По итогам устного тура Жюри приняло решение наградить
- дипломами I степени — участников, решивших 5 или 6 задач (всего 21 человек);
- дипломами II степени — участников, решивших 4 задачи (всего 18 человек);
- дипломами III степени — участников, решивших 3 задачи (всего 44 человека).
Подробно
ФАМИЛИЯ | ИМЯ | ГОРОД | ШКОЛА | ДИПЛОМ |
---|---|---|---|---|
Власова | Надежда | Ярославль | школа № 36 | I |
Гаркавый | Андрей | Москва | школа № 218 | I |
Гущенко-Чеверда | Иван | Москва | школа № 57 | I |
Ершов | Станислав | Воронеж | школа № 1 | I |
Зерцалов | Андрей | Москва | школа № 218 | I |
Коротких | Сергей | Москва | школа № 57 | I |
Кочкин | Иван | Киров | КФМЛ | I |
Немилов | Михаил | Санкт-Петербург | лицей № 533 | I |
Новиков | Александр | Москва | СУНЦ МГУ | I |
Хисамов | Равиль | Москва | СУНЦ МГУ | I |
Щелчков | Дмитрий | Москва | СУНЦ МГУ | I |
Ягудин | Михаил | Москва | СУНЦ МГУ | I |
Яровиков | Юрий | Казань | лицей им. Лобачевского при КФУ | I |
Андреев | Арсений | Москва | гимназия № 1543 | I |
Белосевич | Всеволод | Москва | школа № 57 | I |
Ватузов | Александр | Москва | школа № 179 | I |
Дмитриев | Илларион | Москва | школа № 179 | I |
Зайцева | Юлия | Москва | школа № 179 | I |
Каргальцев | Степан | Москва | школа № 218 | I |
Мерцалов | Александр | Москва | СУНЦ МГУ | I |
Якушкин | Владимир | Витебск | гимназия № 8 | I |
Агафонов | Игорь | Санкт-Петербург | лицей № 533 | II |
Бугакова | Надежда | Санкт-Петербург | ФМЛ 239 | II |
Васильев | Пётр | Москва | школа № 54 | II |
Гаврилов | Андрей | Елизово | школа № 2 | II |
Годжаев | Самир | Барнаул | гимназия № 123 | II |
Давтян | Арам | Москва | гимназия № 1543 | II |
Жожикашвили | Мария | Москва | школа № 57 | II |
Лукашевич | Дмитрий | Москва | СУНЦ МГУ | II |
Мяктинов | Павел | Тамбов | лицей № 14 | II |
Петренко | Иван | Кострома | лицей № 17 | II |
Плетнёв | Никита | Омск | гимназия № 117 | II |
Пособин | Глеб | Ростов-на-Дону | лицей №1 "Классический" | II |
Руденко | Ирина | Ханты-Мансийск | Югорский ФМЛ | II |
Сивкин | Владимир | Москва | СУНЦ МГУ | II |
Тихоновская | Татьяна | Санкт-Петербург | ФМЛ 239 | II |
Урьев | Максим | Москва | школа № 218 | II |
Фазли | Джан Моазам | Москва | школа № 57 | II |
Ярополов | Олег | Краснодар | лицей № 4 | II |
Абасов | Артем | Москва | СУНЦ МГУ | III |
Баландин | Кирилл | Москва | школа № 25 | III |
Белашкин | Иван | Москва | СУНЦ МГУ | III |
Боровков | Данила | Санкт-Петербург | лицей № 533 | III |
Бугаев | Сергей | Москва | школа № 2007 | III |
Быстров | Алексей | Кострома | лицей № 17 | III |
Горчаков | Тимофей | Москва | школа № 57 | III |
Гросс | Виктория | Москва | СУНЦ МГУ | III |
Дагаева | Мария | Москва | школа № 57 | III |
Деркач | Денис | Москва | школа № 2007 | III |
Джунусов | Сергей | Москва | школа № 179 | III |
Дроздов | Александр | Санкт-Петербург | лицей № 533 | III |
Журбенко | Дмитрий | Москва | школа № 25 | III |
Иванов | Сергей | Москва | школа № 179 | III |
Исхаков | Тимур | Москва | школа № 218 | III |
Касьянов | Илья | Москва | школа № 25 | III |
Ковяшев | Роман | Кострома | лицей № 32 | III |
Лебедев | Александр | Москва | школа № 57 | III |
Ломов | Артем | Москва | лицей № 1557 | III |
Малышев | Александр | Москва | лицей "Вторая школа" | III |
Медведев | Георгий | Москва | школа № 179 | III |
Мешик | Александр | Екатеринбург | гимназия № 9 | III |
Мокрий | Юрий | Москва | школа № 179 | III |
Москвин | Алексей | Москва | СУНЦ МГУ | III |
Назарчук | Андрей | Витебск | гимназия № 8 | III |
Новиков | Олег | Москва | СУНЦ МГУ | III |
Пережогина | Мария | Новосибирск | гимназия № 6 | III |
Петров | Сергей | Москва | СУНЦ МГУ | III |
Плиев | Николай | Москва | гимназия № 1514 | III |
Пухов | Александр | Москва | школа № 57 | III |
Рембовская | Александрина | Москва | школа № 54 | III |
Ростилов | Даниил | Набережные Челны | гимназия № 26 | III |
Сахаров | Даниил | Москва | школа № 57 | III |
Ситкарев | Александр | Москва | школа № 179 | III |
Соколов | Артемий | Москва | школа № 179 | III |
Соловьев | Михаил | Москва | школа № 179 | III |
Стрельцова | Елизавета | Майкоп | школа № 8 | III |
Умаров | Рустамбек | Алматы | РСФМСШИ | III |
Федотов | Семен | Краснодар | школа № 24 | III |
Цой | Александр | Томск | Лицей при ТПУ | III |
Чулков | Дмитрий | Майкоп | гимназия № 22 | III |
Шавалиева | Ралина | Москва | СУНЦ МГУ | III |
Эпиктетов | Денис | Москва | лицей № 1557 | III |
Якушкин | Николай | Москва | школа № 179 | III |
Задачи, победители и призёры устных туров:
- 45 Турнира городов 2024 года
- 44 Турнира городов 2023 года
- 43 Турнира городов 2022 года
- 42 Турнира городов 2021 года
- 41 Турнира городов 2020 года
- 40 Турнира городов 2019 года
- 39 Турнира городов 2018 года
- 38 Турнира городов 2017 года
- 37 Турнира городов 2016 года
- 36 Турнира городов 2015 года
- 35 Турнира городов 2014 года
- 34 Турнира городов 2013 года
- 33 Турнира городов 2012 года
- 32 Турнира городов 2011 года
- 31 Турнира городов 2010 года
- 30 Турнира городов 2009 года