Устный тур — 2011

ТРИДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ 11 класс, устный тур, 17 марта 2011 г.

---

1. В ряд выложено n монет. Два игрока по очереди выбирают монету и пе­рево­рачи­ва­ют её. Рас­по­ложе­ние орлов и решек не должно пов­то­рять­ся. Про­иг­ры­ва­ет тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник?

2. На доске написаны 49 на­тураль­ных чисел. Все их попарные суммы различны. Докажите, что наибольшее из чисел больше 600.

3. Даны три попарно пе­ресе­ка­ющих­ся луча. В некий момент времени по каждому лучу из его начала начинает двигаться точка с постоянной скоростью. Известно, что эти три точки в любой момент времени образуют тре­уголь­ник, причем центр описанной окружности этого тре­уголь­ни­ка тоже движется равномерно и пря­моли­ней­но. Верно ли, что все эти тре­уголь­ни­ки подобны друг другу?

4. Подм­но­жест­во сту­ден­ческой группы назовём идеальной компанией, если
1) в этом подм­но­жест­ве все девушки нравятся всем юношам;
2) в это подм­но­жест­во нельзя никого добавить, не нарушив условие 1. В некой группе учатся 9 студенток и 15 студентов. Староста группы составил список все­воз­можных идеальных компаний в этой группе. Какое наибольшее число компаний могло оказаться в этом списке?

5. Найдите все такие пары на­тураль­ных чисел a и b, что a¹⁰⁰⁰+1 делится на b⁶¹⁹ и b¹⁰⁰⁰+1 делится на a⁶¹⁹.

6. На плоскости расположен центрально-сим­метрич­ный выпуклый мно­го­уголь­ник площади 1 и две его копии (каждая получена из мно­го­уголь­ни­ка некоторым па­рал­лель­ным переносом). Известно, что никакая точка плоскости не покрыта тремя мно­го­уголь­ни­ками сразу. Докажите, что общая площадь, покрытая мно­го­уголь­ни­ками, не меньше 2.