Устный тур — 2009

ТРИД­ЦА­ТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ 11 класс, устный тур, 10 мая 2009 г.

---

1. На доске на­писа­ны числа 1, 2, …, 100. Раз­ре­ша­ет­ся стереть два числа и на­писать вместо них их сумму или их про­из­ве­дение. Какое на­иболь­шее число может ос­тать­ся на доске после 99 таких опе­раций?

2. Хро­мая ладья обош­ла часть шах­матной дос­ки, на­чав свой путь на клет­ке d4. Из­вест­но, что ни на ка­кой клет­ке она не была дваж­ды, по­сети­ла все че­тыре угла дос­ки, при­чем на клет­ку a1 она по­пала с клет­ки a2, на клет­ку a8 она по­пала с клет­ки a7 и на клет­ку h8 она по­пала с клет­ки h7. С ка­кой клет­ки она по­пала на клет­ку h1? (Хро­мая ладья хо­дит по вер­ти­кали и го­ризон­та­ли на 1 клет­ку). (А. К. Толпыго)

3. Даны n цветов с но­мера­ми от 1 до n. Для каждого k от 1 до n пусть f_k(n) обоз­на­ча­ет ко­личест­во спо­собов ок­ра­сить на­тураль­ные числа от 1 до n в первые k цветов (каждый из этих цветов должен при­сутс­тво­вать). До­кажи­те, что числа f₁(n)+f₃(n)+f₅(n)+… и f₂(n)+f₄(n)+f₆(n)+… от­ли­ча­ют­ся на 1.
(Раск­рас­ки, от­ли­ча­ющиеся пе­рес­та­нов­кой цветов, счи­та­ют­ся разными. Нап­ри­мер, f₁(2)=1 и f₂(2)=2.)


4. Сфера ка­са­ет­ся всех ребер тет­ра­эд­ра ABCD кроме ребра CD. До­кажи­те, что су­щест­ву­ет сфера, которая ка­са­ет­ся всех ребер этого тет­ра­эд­ра кроме ребра AB.


5. Дан мно­гоч­лен P(x) с ра­ци­ональ­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми. Из­вест­но, что для каждого на­тураль­но­го n най­дет­ся такое на­тураль­ное k, что P([1/n])=[1/k]. До­кажи­те, что най­дут­ся такие числа c и m, что P(x)=c·x^m.


6. Двум ра­зум­ным му­равь­ям заранее объ­яви­ли, что их ночью высадят од­новре­мен­но в две вершины на­ходя­щего­ся в не­весо­мос­ти пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­лепи­педа 1×1×2 м. Муравьи ползают только по ребрам, их мак­си­маль­ная ско­рость 1 м/мин. Могут ли они до­гово­рить­ся дей­ство­вать так, чтобы га­ран­ти­рован­но встре­тить­ся ранее чем через 9 минут после высадки? (Муравей знает, сколько он прополз.)