|
- Доступны решения осеннего тура, 8 - 9 классы, тренировочный вариант
- Доступны решения осеннего тура, 10 - 11 классы, тренировочный вариант
- Доступны решения осеннего тура, 8 - 11 классы, основной вариант
Двадцать восьмой Турнир Городов, 2006-2007
----------------------------------------------------------------
ДВАДЦАТЬ ВОСЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур,
8 - 9 классы, тренировочный вариант, 22 октября 2006 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилуч-
шие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
----------------------------------------------------------------
баллы задачи
1. На доске написаны в порядке возрастания два натуральных
4 числа x и y (x <= y). Петя записывает на бумажке x^2
(квадрат первого числа), а затем заменяет числа на дос-
ке числами x и y-x, записывая их в порядке возрастания.
С новыми числами на доске он снова проделывает ту же
операцию, и т.д. до тех пор, пока одно из чисел на дос-
ке не станет нулем. Чему будет в этот момент равна сум-
ма чисел на петиной бумажке?
2. Известно, что вруны всегда врут, правдивые всегда гово-
рят правду, а хитрецы могут и врать, и говорить правду.
Вы можете задавать вопросы, на которые есть ответ "да"
или "нет" (например: "верно ли, что этот человек - хит-
рец?").
1 а) Перед вами трое - врун, правдивый и хитрец, которые
знают, кто из них кто. Как и вам это узнать?
б) Перед вами четверо - врун, правдивый и два хитреца (все
3 четверо знают, кто из них кто). Докажите, что хитрецы
могут договориться отвечать так, что вы, спрашивая этих
четверых, ни про кого из них не узнаете наверняка, кто
он.
3.
а) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1. Докажите,
2 что удастся зачеркнуть одно число, так чтобы произведе-
ние оставшихся можно было представить в виде разности
квадратов двух натуральных чисел.
б) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1, одно из ко-
2 торых равно 2006. Оказалось, что есть только одно такое
число среди написанных, что произведение оставшихся
представляется в виде разности квадратов двух натураль-
ных чисел. Докажите, что это число - 2006.
4. На продолжении стороны BC треугольника ABC за вершину B
4 отложен отрезок BB', равный стороне AB. Биссектрисы
внешних углов при вершинах B и C пересекаются в точке
M. Докажите, что точки A, B', M и C лежат на одной ок-
ружности.
5. На какое наибольшее число равных невыпуклых многоуголь-
4 ников можно разрезать квадрат так, чтобы все стороны
многоугольников были параллельны сторонам квадрата и
никакие два из этих многоугольников не получались друг
из друга параллельным переносом? (Параллельный перенос
- это сдвиг без поворота).
----------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------
ДВАДЦАТЬ ВОСЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур,
10 - 11 классы, тренировочный вариант, 22 октября 2006 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилуч-
шие результаты.)
----------------------------------------------------------------
баллы задачи
1. На доске написаны три натуральных числа x, y, z. Петя
4 записывает на бумажку произведение каких-нибудь двух из
этих чисел, а на доске уменьшает третье число на 1. С
новыми тремя числами на доске он снова проделывает ту
же операцию, и т.д. до тех пор, пока одно из чисел на
доске не станет нулем. Чему будет в этот момент равна
сумма чисел на петиной бумажке?
2. Дан описанный четырехугольник. Точки касания его впи-
4 санной окружности со сторонами последовательно соедине-
ны отрезками. В получившиеся треугольники вписаны ок-
ружности. Докажите, что диагонали четырехугольника с
вершинами в центрах этих окружностей взаимно перпенди-
кулярны.
3. В таблицу 2006*2006 вписаны числа 1, 2, 3, ..., 2006^2.
4 Докажите, что найдутся два числа в клетках с общей сто-
роной или вершиной такие, что их сумма делится на 4.
4. Даны две бесконечные (в одну сторону) прогрессии: ариф-
4 метическая a_1, a_2, a_3, ... и геометрическая b_1,
b_2, b_3, ... , причем все числа, которые встречаются
среди членов геометрической прогрессии, встречаются
также и среди членов арифметической прогрессии. Докажи-
те, что знаменатель геометрической прогрессии - целое
число.
5. Можно ли вписать правильный октаэдр в куб так, чтобы
5 вершины октаэдра находились на ребрах куба? (У правиль-
ного октаэдра 6 вершин, из каждой выходит 4 ребра, все
его грани - правильные треугольники.)
----------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------
ДВАДЦАТЬ ВОСЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур,
8 - 9 классы, основной вариант, 29 октября 2006 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилуч-
шие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
----------------------------------------------------------------
баллы задачи
1. Вокруг правильного 7-угольника описали окружность и
3 вписали в него окружность. То же проделали с правильным
17-угольником. В результате каждый из многоугольников
оказался расположенным в своем круговом кольце. Оказа-
лось, что площади этих колец одинаковы. Докажите, что
стороны многоугольников одинаковы.
2. Попав в новую компанию, Чичиков узнавал, кто с кем зна-
5 ком. А чтобы запомнить это, он рисовал окружность и
изображал каждого члена компании хордой, причем хорды
знакомых между собой пересекались, а незнакомых - нет.
Чичиков уверен, что такой набор хорд есть для любой
компании. Прав ли он? (Совпадение концов хорд считается
пересечением).
3. В квадрате 3*3 расставлены числа (в первой строке -
a,b,c, во второй - d,e,f, в третьей - g,h,i, именно в
таком порядке). Известно, что квадрат магический: сумма
чисел в каждом столбце, в каждой строке и на каждой
диагонали одна и та же. Докажите, что
3 а) 2(a+c+g+i)=b+d+f+h+4e.
3 б) 2(a^3+c^3+g^3+i^3)=b^3+d^3+f^3+h^3+4e^3.
4. В остроугольный треугольник вписана окружность радиуса
6 R. К окружности проведены три касательные, разбивающие
треугольник на три прямоугольных треугольника и шести-
угольник. Периметр шестиугольника равен Q. Найдите сум-
му диаметров окружностей, вписанных в прямоугольные
треугольники.
5. Оберткой плоской картины размером 1*1 назовем прямоу-
гольный лист бумаги площади 2, которым можно, не разре-
зая его, полностью обернуть картину с обеих сторон.
Ясно, что прямоугольник 2*1 и квадрат со стороной ко-
рень из двух - обертки.
4 а) Докажите, что есть и другие обертки.
3 б) Докажите, что оберток бесконечно много.
6. Пусть 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = a_n/b_n, где a_n/b_n
8 - несократимая дробь. Докажите, что существует беско-
нечно много натуральных n, при которых выполнено нера-
венство b_{n+1} < b_n.
7. У ведущего есть колода из 52 карт. Зрители хотят уз-
9 нать, в каком порядке лежат карты (при этом не уточняя
- сверху вниз или снизу вверх). Разрешается задавать
ведущему вопросы вида "Сколько карт лежит между та-
кой-то и такой-то картами?". Один из зрителей подсмот-
рел, в каком порядке лежат карты. Какое наименьшее чис-
ло вопросов он должен задать, чтобы остальные зрители
по ответам на эти вопросы могли узнать порядок карт в
колоде?
----------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------
ДВАДЦАТЬ ВОСЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур,
10 - 11 классы, основной вариант, 29 октября 2006 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилуч-
шие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
----------------------------------------------------------------
баллы задачи
1. Попав в новую компанию, Чичиков узнавал, кто с кем зна-
4 ком. А чтобы запомнить это, он рисовал окружность и
изображал каждого члена компании хордой, причем хорды
знакомых между собой пересекались, а незнакомых - нет.
Чичиков уверен, что такой набор хорд есть для любой
компании. Прав ли он? (Совпадение концов хорд считается
пересечением).
2. На сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC
6 взяты соответственно точки A_1, B_1 и C_1 так, что лучи
A_1A, B_1B и С_1C являются биссектрисами углов треу-
гольника A_1B_1C_1. Докажите, что AA_1, BB_1 и СС_1 -
высоты треугольника ABC.
3. В числе a = 0,12457... n-я цифра после запятой равна
6 цифре слева от запятой в числе n корней из двух. Дока-
жите, что a - иррациональное число.
4. Можно ли разбить какую-нибудь призму на непересекающие-
6 ся пирамиды, у каждой из которых основание лежит на од-
ном из оснований призмы, а вершина - на другом основа-
нии призмы?
5. Пусть 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = a_n/b_n, где a_n/b_n
7 - несократимая дробь. Докажите, что существует беско-
нечно много натуральных n, при которых выполнено нера-
венство b_{n+1} < b_n.
6. Скажем, что колода из 52 карт сложена правильно, если
любая пара лежащих рядом карт совпадает по масти или
достоинству, то же верно для верхней и нижней карты, и
наверху лежит туз пик. Докажите, что число способов
сложить колоду правильно
3 а) делится на 12!;
5 б) делится на 13!.
7. Положительные числа х_1, ... , х_k удовлетворяют нера-
венствам
x_1^2 + ... + x_k^2 < (x_1 + ... + x_k)/2,
x_1 + ... + x_k < (x_1^3 + ... + x_k^3)/2.
3 а) Докажите, что k > 50.
3 б) Постройте пример таких чисел для какого-нибудь k.
3 в) Найдите минимальное k, для которого пример возможен.
----------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------
ДВАДЦАТЬ ВОСЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур,
8 - 9 классы, тренировочный вариант, 25?февраля 2007 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилуч-
шие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
----------------------------------------------------------------
баллы задачи
1. Пять отрезков провели (не отрывая карандаша от бумаги)
4 так, что получилась пятиугольная звезда, разделенная
проведенными отрезками на пять треугольников и пятиу-
гольник. Оказалось, что все пять треугольников равны.
Обязательно ли тогда пятиугольник правильный (то есть
равносторонний и равноугольный)?
2. На доске написаны два 2007-значных числа. Известно, что
4 из обоих чисел можно вычеркнуть по 7 цифр так, чтобы
получились одинаковые числа. Докажите, что в исходные
числа можно вписать по 7 цифр так, чтобы тоже получи-
лись одинаковые числа.
3. Какое наименьшее число ладей нужно поставить на шахмат-
4 ную доску 8*8 , чтобы все белые клетки были под боем
этих ладей? (Под боем ладьи считаются все клетки строки
и столбца, в которых находится ладья.)
4. Даны три ненулевых действительных числа. Если поставить
4 их в любом порядке в качестве коэффициентов квадратного
трёхчлена, то трёхчлен будет иметь действительный ко-
рень. Верно ли, что любой из этих трёхчленов будет
иметь положительный корень?
5. а) Торт имеет форму треугольника, в котором один угол в
1 три раза больше другого. Коробка для торта имеет форму
того же треугольника, но симметрична ему относительно
некоторой прямой. Как разрезать торт на две части, ко-
торые можно будет (не переворачивая) уложить в эту ко-
робку?
б) Та же задача для торта в форме тупоугольного треу-
4 гольника, в котором тупой угол в два раза больше одного
из острых углов.
(Торт и коробку считайте плоскими фигурами.)
----------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------
ДВАДЦАТЬ ВОСЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур,
10 - 11 классы, тренировочный вариант, 25?февраля 2007 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилуч-
шие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
----------------------------------------------------------------
баллы задачи
1. Клетки доски 9*9 раскрасили в шахматном порядке в чер-
3 ный и белый цвета (угловые клетки белые). Какое наи-
меньшее число ладей нужно поставить на эту доску, чтобы
все белые клетки оказались под боем этих ладей? (Под
боем ладьи считаются все клетки строки и столбца, в ко-
торых находится ладья.)
2. Многочлен x^3 + px^2 + qx + r имеет на интервале (0;2)
4 три корня. Докажите, что выполнено неравенство
-2 < p+q+r < 0.
3. Прямая касается окружности в точке A. На прямой выбрали
4 точку B и повернули отрезок AB на некоторый угол вокруг
центра окружности, получив отрезок A'B'. Докажите, что
прямая, проходящая через точки касания A и A', делит
пополам отрезок BB'.
4. Последовательность нулей и единиц строится следующим
4 образом: на k-том месте ставится нуль, если сумма цифр
числа k четна, а иначе (если сумма цифр числа k нечет-
на) ставится единица. Докажите, что эта последователь-
ность непериодична. (Вот начало этой последовательнос-
ти: 101010101101010101001?...?. )
Последовательность называется периодической, если
существует такое натуральное число d, что всегда два
члена последовательности, номера которых отличаются на
d, совпадают.
5. а) Торт имеет форму тупоугольного треугольника, в кото-
3 ром тупой угол в два раза больше одного из острых уг-
лов. Коробка для торта имеет форму того же треугольни-
ка, но симметрична ему относительно некоторой прямой.
Как разрезать торт на две части, которые можно будет
(не переворачивая) уложить в эту коробку?
б) Та же задача для торта, имеющего форму треугольника
3 с?углами 20 градусов,?30 градусов и 130 градусов.
(Торт и коробку считайте плоскими фигурами.)
----------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------
ДВАДЦАТЬ ВОСЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур,
8 - 9 классы, основной вариант, 4 марта 2007 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилуч-
шие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
----------------------------------------------------------------
баллы задачи
1. Дано натуральное число N. Чтобы найти целое число, бли-
3 жайшее к корню квадратному из N, воспользуемся следую-
щим способом: найдем среди квадратов натуральных чисел
число a^2, ближайшее к числу N; тогда a и будет искомым
числом. Всегда ли этот способ дает правильный ответ?
2. На сторонах единичного квадрата отметили точки K, L, M
4 и N так, что KM параллельна двум сторонам квадрата, а
LN параллельна двум другим сторонам квадрата. Отрезок
KL отсекает от квадрата треугольник периметра 1. Треу-
гольник какой площади отсекает от квадрата отрезок MN?
3. Петя взял двадцать последовательных натуральных чисел,
5 записал их друг за другом в некотором порядке и получил
число M. Вася взял двадцать одно последовательное нату-
ральное число, записал их друг за другом в некотором
порядке и получил число N. Могло ли случиться, что
M = N ?
4. В выпуклом n-угольнике провели несколько диагоналей
6 (возможно, пересекающихся) так, что ни в какой точке
внутри многоугольника не пересеклись три или более диа-
гоналей. Оказалось, что в результате многоугольник
разбился на треугольники. Каково наибольшее возможное
число треугольников?
5. Найдите все возрастающие арифметические прогрессии,
7 состоящие из простых чисел, со свойством: количество
членов прогрессии конечно и больше, чем разность прог-
рессии.
6. В четырехугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны, M -
8 середина стороны AD. Известно, что угол BMC равен 90
градусов. Найдите угол между диагоналями четырехуголь-
ника ABCD.
7. Капитан Врунгель в своей каюте разложил перетасованную
колоду из 52 карт по кругу, оставив одно место свобод-
ным. Матрос Фукс с палубы, не отходя от штурвала и не
зная начальной раскладки, называет карту. Если эта кар-
та лежит рядом со свободным местом, Врунгель ее туда
передвигает, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происхо-
дит. Потом Фукс называет еще одну карту, и так сколько
угодно раз, пока он не скажет "стоп".
5 а) Может ли Фукс добиться того, чтобы после "стопа" каждая
карта наверняка оказалась не там, где была вначале?
5 б) Может ли Фукс добиться того, чтобы после "стопа" рядом
со свободным местом наверняка не было туза пик?
----------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------
ДВАДЦАТЬ ВОСЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур,
10 - 11 классы, основной вариант, 4 марта 2007 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилуч-
шие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
----------------------------------------------------------------
баллы задачи
1. На параболе y=x^2 взяли четыре точки A, B, C, D так,
3 что отрезки AB и CD пересеклись на оси ординат. Найдите
абсциссу точки D, если абсциссы точек A, B и C равны
соответственно a, b и c.
2. Выпуклая фигура F обладает следующим свойством: любой
5 правильный треугольник со стороной 1 можно параллельно
перенести так, что все его вершины попадут на границу
F. Следует ли из этого свойства, что F - круг?
3. Пусть f(x) - некоторый многочлен ненулевой степени. Мо-
5 жет ли оказаться, что уравнение f(x)=a при любом значе-
нии a имеет четное число решений?
4. Капитан Врунгель в своей каюте разложил перетасованную
колоду из 52 карт по кругу, оставив одно место свобод-
ным. Матрос Фукс с палубы, не отходя от штурвала и не
зная начальной раскладки, называет карту. Если эта кар-
та лежит рядом со свободным местом, Врунгель ее туда
передвигает, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происхо-
дит. Потом Фукс называет еще одну карту, и так сколько
угодно раз, пока он не скажет "стоп".
4 а) Может ли Фукс добиться того, чтобы после "стопа" каждая
карта наверняка оказалась не там, где была вначале?
4 б) Может ли Фукс добиться того, чтобы после "стопа" рядом
со свободным местом наверняка не было туза пик?
5. От правильного октаэдра со стороной 1 отрезали 6 углов
8 - пирамидок с квадратным основанием и ребром 1/3. Полу-
чился многогранник, грани которого - квадраты и пра-
вильные шестиугольники. Можно ли копиями такого много-
гранника замостить пространство?
6. Дано иррациональное число a, такое что 0 < a < 1/2. По
нему определяется новое число a_1 как меньшее из двух
чисел 2a и 1-2a. По этому числу аналогично определяется
a_2, и так далее.
4 а) Докажите, что для некоторого n выполнено неравенство
a_n < 3/16.
4 б) Может ли случиться, что a_n > 7/40 при всех натуральных
n?
7. Стороны треугольника ABC видны из точки T под углами
8 120 градусов. Докажите, что прямые, симметричные прямым
AT, BT и CT относительно прямых BC, CA и AB соответс-
твенно, пересекаются в одной точке.
----------------------------------------------------------------
|