Тридцать третий Турнир Городов,

Доступны условия в формате pdf.


Доступны результаты по Москве.



ТРИДЦАТЬ ТРЕТИЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур,
8 — 9 классы, базовый вариант, 9 октября 2011 г.
(Итог под­во­дит­ся по трем задачам, по которым дос­тигну­ты на­илуч­шие ре­зуль­та­ты).
баллызадачи
3
1.На на­иболь­шей стороне AB тре­уголь­ни­ка ABC взяли точки P и Q такие, что AQ=AC, BP=BC. Докажите, что центр ок­ружнос­ти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка PQC, сов­па­да­ет с центром ок­ружнос­ти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.
В. Про­из­во­лов
4
2.Гости за круглым столом ели изюм из корзины с 2011 изю­мин­ка­ми. Ока­залось, что каждый съел либо вдвое больше, либо на 6 меньше изюминок, чем его сосед справа. Докажите, что были съедены не все изюминки.
Д. Баранов
4
3.Из клет­ча­того пря­мо­уголь­ни­ка 9×9 вырезали 16 клеток, у которых номера го­ризон­та­лей и вер­ти­калей четные. Раз­режь­те ос­тавшу­юся фигуру на нес­коль­ко клет­ча­тых пря­мо­уголь­ни­ков так, чтобы среди них было как можно меньше квад­ра­тиков 1×1.
П. Ко­жев­ни­ков
4
4.В вершинах 33-уголь­ни­ка записали в не­кото­ром порядке целые числа от 1 до 33. Затем на каждой стороне написали сумму чисел в ее концах. Могут ли на сторонах ока­зать­ся 33 пос­ле­дова­тель­ных целых числа (в каком-нибудь порядке)?
Н. Авилов
5
5.По шоссе в одну сторону движутся пешеход и ве­лоси­педист, в другую сторону — телега и машина. Все участ­ни­ки движутся с пос­то­ян­ны­ми ско­рос­тя­ми (каждый со своей). Ве­лоси­педист сначала обогнал пешехода, потом через не­кото­рое время встретил телегу, а потом ещё через такое же время встретил машину. Машина сначала встре­тила ве­лоси­педис­та, потом через не­кото­рое время встре­тила пешехода, и потом ещё через такое же время обогнала телегу. Ве­лоси­педист обогнал пешехода в 10 часов, а пешеход встретил машину в 11 часов. Когда пешеход встретил телегу?
А. Шень
ТРИДЦАТЬ ТРЕТИЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур,
10 — 11 классы, базовый вариант, 9 октября 2011 г.
(Итог под­во­дит­ся по трем задачам, по которым дос­тигну­ты на­илуч­шие ре­зуль­та­ты.)
баллызадачи
3
1.Гости за круглым столом ели изюм из корзины с 2011 изю­мин­ка­ми. Ока­залось, что каждый съел либо вдвое больше, либо на 6 меньше изюминок, чем его сосед справа. Докажите, что были съедены не все изюминки.
Д. Баранов
4
2.В каждой клетке сек­ретной таблицы nxn записана одна из цифр от 1 до 9. Из них по­луча­ют­ся n-значные числа, за­писан­ные в строках слева направо и в столбцах сверху вниз. Петя хочет написать такое n-значное число без нулей в записи, чтобы ни это число, ни оно же, за­писан­ное задом наперёд, не сов­па­дало ни с одним из 2n чисел в строках и столбцах таблицы. В каком на­имень­шем ко­личест­ве клеток Петя должен для этого узнать цифры?
Г. Галь­пе­рин
4
3.В выпуклом че­тыре­хуголь­ни­ке ABCD стороны равны со­от­ветс­твен­но: AB = 10, BC = 14, CD = 11, AD = 5. Найдите угол между его ди­аго­наля­ми.
А. Толпыго
4
4.На­тураль­ные числа a < b < c таковы, что b+a делится на b−a, а c+b делится на c−b. Число a за­писы­ва­ет­ся 2011 цифрами, а число b за­писы­ва­ет­ся 2012 цифрами. Сколько цифр в числе c?
Б. Френкин
5
5.На плос­кости даны 10 прямых общего по­ложе­ния (нет па­рал­лель­ных и никакие три не проходят через одну точку). При каждой точке пе­ресе­чения вы­бира­ет­ся на­имень­ший угол, об­ра­зован­ный про­ходя­щими через нее прямыми. Найдите на­иболь­шую воз­можную сумму всех этих углов.
Р. Же­нода­ров


ТРИДЦАТЬ ТРЕТИЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур,
8 — 9 классы, сложный вариант, 23 октября 2011 г.
(Итог под­во­дит­ся по трём задачам, по которым дос­тигну­ты на­илуч­шие ре­зуль­та­ты)
баллызадачи
3
1.Саша пишет на доске пос­ле­дова­тель­ность на­тураль­ных чисел. Первое число N > 1 написано заранее. Новые на­тураль­ные числа он получает так: вычитает из пос­ледне­го за­писан­но­го числа или при­бав­ля­ет к нему любой его делитель, больший 1. При любом ли на­тураль­ном N > 1 Саша сможет написать на доске в какой-то момент число 2011?
А. Берд­ни­ков
4
2.На стороне AB тре­уголь­ни­ка ABC взята точка P такая, что AP=2PB, а на стороне AC — ее середина, точка Q. Известно, что CP=2PQ. Докажите, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.
В. Про­из­во­лов
5
3.В наборе нес­коль­ко гирь, все веса которых различны. Известно, что если положить любую пару гирь на левую чашу, можно весы урав­но­весить, положив на правую чашу одну или нес­коль­ко гирь из ос­таль­ных. Найдите на­имень­шее воз­можное число гирь в наборе.
А. Ша­пова­лов
6
4.На клет­ча­той доске из 2012 строк и k > 2 столбцов в какой-то клетке самого левого столбца стоит фишка. Двое ходят по очереди, за ход можно пе­ред­ви­нуть фишку вправо, вверх или вниз на одну клетку, при этом нельзя пе­ред­ви­гать фишку на клетку, в которой она уже побывала. Игра за­кан­чи­ва­ет­ся, как только один из игроков пе­ред­ви­нет фишку в самый правый столбец. Но будет ли такой игрок вы­иг­равшим или про­иг­равшим — со­об­ща­ет­ся игрокам только в тот момент, когда фишка попадает в пред­послед­ний столбец (второй справа). Может ли один из игроков обес­пе­чить себе выигрыш?
А. Берд­ни­ков
6
5.Известно, что 0 < a, b, c, d < 1 и abcd = (1−a)(1−b)(1−c)(1−d).
Докажите, что (a+b+c+d)-(a+c)(b+d) >= 1.
Г. Галь­пе­рин
7
6.По прямому шоссе со ско­ростью 60 км/ч едет машина. Недалеко от дороги стоит 100-метровый забор, па­рал­лель­ный дороге. Каждую секунду пассажир ав­то­моби­ля измеряет угол, под которым виден забор. Докажите, что сумма всех из­ме­рен­ных им углов меньше 1100 градусов.
А. Шень
9
7.Вершины пра­виль­но­го 45-уголь­ни­ка раск­ра­шены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три тре­уголь­ни­ка, об­ра­зован­ные выб­ранны­ми од­ноцвет­ны­ми вер­ши­нами, были равны.
В. Брагин
ТРИДЦАТЬ ТРЕТИЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур,
10 — 11 классы, сложный вариант, 23 октября 2011 г.
(Итог под­во­дит­ся по трём задачам, по которым дос­тигну­ты на­илуч­шие ре­зуль­та­ты, баллы за пункты одной задачи сум­ми­ру­ют­ся.)
баллызадачи
4
1.Петя отметил на плос­кости нес­коль­ко точек (больше двух), все расс­то­яния между которыми различны. Пару от­ме­чен­ных точек A,B назовём не­обыч­ной, если A — самая дальняя от B от­ме­чен­ная точка, а B — бли­жай­шая к A от­ме­чен­ная точка (не считая самой точки A). Какое на­иболь­шее воз­можное ко­личест­во не­обыч­ных пар могло по­лучить­ся у Пети?
Б. Френкин
4
2.Известно, что 0 < a, b, c, d < 1 и abcd = (1−a)(1−b)(1−c)(1−d).
Докажите, что (a+b+c+d)-(a+c)(b+d) >= 1.
Г. Галь­пе­рин
5
3.В тре­уголь­ни­ке ABC точки A1, B1, C1 — ос­но­вания высот из вершин A, B, C, точки CA и CB — проекции C1 на AC и BC со­от­ветс­твен­но. Докажите, что прямая CACB делит пополам отрезки C1A1 и C1B1.
Фольклор, пред­ло­жил Г. Фельдман
4.Су­щест­ву­ет ли выпуклый N-угольник, все стороны которого равны, а все вершины лежат на параболе y=x2, если
3
а)N=2011;
4
б)N=2012?
И. Богданов
7
5.Назовем на­тураль­ное число хорошим, если все его цифры не­нуле­вые. Хорошее число назовем особым, если в нем хотя бы k разрядов и цифры идут в порядке строгого воз­раста­ния (слева направо). Пусть имеется некое хорошее число. За ход раз­ре­ша­ет­ся при­писать с любого края или вписать между любыми его двумя цифрами особое число или же наоборот, стереть в его записи особое число. При каком на­иболь­шем k можно из любого хорошего числа получить любое другое хорошее число с помощью таких ходов?
А. Берд­ни­ков
7
6.Докажите, что при на­тураль­ном n > 1 число 11+33+55+…+(2n−1)2n−1 делится на 2n, но не делится на 2n+1. (В сумме участ­ву­ет каждое нечетное число k от 1 до 2n−1, воз­ве­ден­ное в степень k.)
С. Сафин
9
7.100 красных точек раз­де­лили синюю ок­ружность на 100 дуг, длины которых являются всеми на­тураль­ны­ми числами от 1 до 100 в про­из­воль­ном порядке. Докажите, что су­щест­ву­ют две пер­пенди­куляр­ные хорды с красными концами.
В. Про­из­во­лов


ТРИДЦАТЬ ТРЕТИЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур,
8 - 9 классы, базовый вариант, 26 февраля 2012 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
баллызадачи
3      
1.Под одной из клеток доски 8×8 зарыт клад. Под каждой из остальных зарыта табличка, в которой указано, за какое наименьшее число шагов можно добраться из этой клетки до клада (одним шагом можно перейти из клетки в соседнюю по стороне клетку). Какое наименьшее число клеток надо перекопать, чтобы наверняка достать клад?
      
Н. П. Стрелкова
4      
2.Существует ли натуральное число, у которого нечетное количество четных натуральных делителей и четное количество нечетных?
      
Г. Жуков
4      
3.Дан параллелограмм ABCD. Вписанные окружности треугольников ABC и ADC касаются диагонали AC в точках X и Y. Вписанные окружности треугольников BCD и BAD касаются диагонали BD в точках Z и T. Докажите, что если все точки X, Y, Z, T различны, то они являются вершинами прямоугольника.
      
Р. К. Гордин
      
4.В выражении 10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1 расставили скобки так, что в результате вычислений получилось целое число. Каким
2      
а)наибольшим;
3      
б)наименьшим может быть это число?
      
И. Ф. Акулич
5      
5.У Носорога на шкуре есть вертикальные и горизонтальные складки. Всего складок 17. Если Носорог чешется боком о дерево, то либо две горизонтальные, либо две вертикальные складки на этом боку пропадают, зато на другом боку прибавляются две складки: горизонтальная и вертикальная. (Если двух складок одного направления нет, то ничего не происходит.) Носорог почесался несколько раз. Могло ли случиться, что на каждом боку вертикальных складок стало столько, сколько там раньше было горизонтальных, а горизонтальных стало столько, сколько там было вертикальных?
      
И. Высоцкий
ТРИДЦАТЬ ТРЕТИЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур,
10 - 11 классы, базовый вариант, 26 февраля 2012 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты.)
баллызадачи
4      
1.Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят ровно три ребра, причем хотя бы два из этих трех ребер равны. Докажите, что многогранник имеет хотя бы три равных ребра.
      
В. В. Произволов
4      
2.Дана клетчатая полоска из 2n клеток, пронумерованных слева направо следующим образом: 1,  2,  3, ..., n, -n,  ..., -2, -1. По этой полоске перемещают фишку, каждым ходом сдвигая ее на то число клеток, которое указано в текущей клетке (вправо, если число положительно, и влево, если отрицательно). Известно, что фишка, начав с любой клетки, обойдет все клетки полоски. Докажите, что число 2n+1 простое.
      
А. В. Грибалко
5      
3.На плоскости нарисовали кривые y=cosx и x=100cos(100y) и отметили все точки их пересечения, координаты которых положительны. Пусть a - сумма абсцисс этих точек, b - сумма ординат этих точек. Найдите a/b.
      
И. И. Богданов
5      
4.Четырехугольник ABCD без параллельных сторон вписан в окружность. Для каждой пары касающихся окружностей, одна из которых имеет хорду AB, а другая - хорду CD, отметим их точку касания X. Докажите, что все такие точки X лежат на одной окружности.
      
фольклор, предложил А. Бердников
5      
5.Белая ладья стоит на поле b2 шахматной доски 8×8, а черная - на поле c4. Игроки ходят по очереди, каждый - своей ладьей, начинают белые. Запрещается ставить свою ладью под бой другой ладьи, а также на поле, где уже побывала какая-нибудь ладья. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Кто из игроков может обеспечить себе победу, как бы ни играл другой? (За ход ладья сдвигается по горизонтали или вертикали на любое число клеток, и считается, что она побывала только в начальной и конечной клетках этого хода.)
      
А. К. Толпыго


ТРИДЦАТЬ ТРЕТИЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур,
8 - 9 классы, сложный вариант, 18 марта 2012 г.
(Итог подводится по тр\"ем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты)
баллызадачи
4      
1.В ряд лежит четное число груш. Массы любых двух соседних груш отличаются не более, чем на 1 г. Докажите, что можно все груши разложить по две в одинаковые пакеты и выложить пакеты в ряд так, чтобы массы любых двух соседних пакетов тоже отличались не более, чем на 1 г.
      
А. В. Шаповалов
4      
2.На плоскости отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Саша разбивает точки на пары и соединяет точки в каждой паре отрезком. Всегда ли он может сделать это так, чтобы каждые два отрезка пересекались?
      
А. В. Шаповалов
6      
3.В бригаде сторожей у каждого есть разряд (натуральное число). Сторож N-го разряда N суток дежурит, потом N суток спит, снова N суток дежурит, N - спит, и так далее. Известно, что разряды любых двух сторожей различаются хотя бы в три раза. Может ли такая бригада осуществлять ежедневное дежурство? (Приступить к дежурству сторожа могут не обязательно одновременно, в один день могут дежурить несколько сторожей.)
      
А. С. Бердников
6      
4.В клетках таблицы n×n стоят знаки "+" и "−". За ход разрешается в любой строке или в любом столбце изменить все знаки на противоположные. Известно, что из начальной расстановки можно за сколько-то ходов сделать все знаки в таблице плюсами. Докажите, что этого можно добиться, сделав не более n ходов.
      
А. Я. Канель-Белов
8      
5.Пусть p - простое число. Набор из p+2 натуральных чисел (не обязательно различных) назовем "интересным", если сумма любых p из них делится на каждое из двух оставшихся чисел. Найдите все "интересные" наборы.
      
А. А. Полянский
8      
6.Банк обслуживает миллион клиентов, список которых известен Остапу Бендеру. У каждого клиента есть свой PIN-код из шести цифр, у разных клиентов коды разные. Остап Бендер за один ход может выбрать любого клиента, которого он еще не выбирал, и подсмотреть у него цифры кода на любых N позициях (у разных клиентов он может выбирать разные позиции). Остап хочет узнать код миллионера Корейко. При каком наименьшем N он гарантированно сможет это сделать?
      
Г. К. Жуков
8      
7.В равностороннем треугольнике ABC провели высоту AH. В треугольнике ABH отметили точку пересечения биссектрис I. В каждом из треугольников ABI, BCI и CAI отметили по точке пересечения биссектрис - L, K и J соответственно. Найдите величину угла KJL.
      
К. Голубев
ТРИДЦАТЬ ТРЕТИЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур,
10 - 11 классы, сложный вариант, 18 марта 2012 г.
(Итог подводится по тр\"ем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
баллызадачи
4      
1.В бригаде сторожей у каждого есть разряд (натуральное число). Сторож N-го разряда N суток дежурит, потом N суток спит, снова N суток дежурит, N - спит, и так далее. Известно, что разряды любых двух сторожей различаются хотя бы в три раза. Может ли такая бригада осуществлять ежедневное дежурство? (Приступить к дежурству сторожа могут не обязательно одновременно, в один день могут дежурить несколько сторожей.)
      
А. С. Бердников
5      
2.Внутри круга отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что их можно разбить на пары и провести прямую через каждую пару так, чтобы все точки пересечения прямых лежали в круге.
      
А. В. Шаповалов
6      
3.Докажите, что для любого натурального n существуют такие целые числа a1, a2, …, an, что при всех целых x число (...((x2+a1)2+a2)2+…+an−1)2+an делится на 2n−1.
      
А. С. Бердников
6      
4.Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две выбранные точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком. Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем 6√2.
      
В. В. Произволов
8      
5.Дан треугольник ABC и прямая l, касающаяся вписанной в него окружности. Обозначим через la, lb, lc прямые, симметричные l относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику ABC.
      
А. А. Заславский
      
6.
3      
а)В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь n-го прямоугольника равна n2 (для n=1,2,3,...). Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.
6      
б)Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа N найдутся квадраты суммарной площади больше N?
      
А. С. Бердников
      
7.У Кости была кучка из 100 камешков. Каждым ходом он делил какую-то из кучек на две меньших, пока у него в итоге не оказалось 100 кучек по одному камешку. Докажите, что
6      
а)в какой-то момент в каких-то 30 кучках было в сумме ровно 60 камешков;
3      
б)в какой-то момент в каких-то 20 кучках было в сумме ровно 60 камешков;
3      
в)Костя мог действовать так, чтобы ни в какой момент не нашлось 19 кучек, в которых в сумме ровно 60 камешков.
      
К. Кноп