Тридцать второй Турнир Городов, 2010–2011

ТРИДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Осенний тур, 8 — 9 классы, базовый вариант, 10 октября 2010 г. (Итог под­во­дит­ся по трем задачам, по которым дос­тигну­ты на­илуч­шие ре­зуль­та­ты).

баллы	задачи
4	1. В пи­фаго­ровой таблице ум­но­жения выделили пря­мо­уголь­ную рамку толщиной в одну клетку, причем каждая сторона рамки состоит из не­чет­но­го числа клеток. Клетки рамки по­оче­ред­но раск­ра­сили в два цвета — черный и белый. Докажите, что сумма чисел в черных клетках равна сумме чисел в белых клетках.
	(Пи­фаго­рова таблица ум­но­жения — это клет­ча­тая таблица, в которой на пе­ресе­чении m-й строки и n-го столбца стоит число mn (для любых на­тураль­ных m и n).)
	С. Прика
4	2. Рав­но­бокая трапеция описана около ок­ружнос­ти. Докажите, что бис­сект­ри­са тупого угла этой трапеции делит ее площадь пополам.
	Р. К. Гордин
4	3. На шах­матной доске 8×8 стоит кубик (нижняя грань сов­па­да­ет с одной из клеток доски). Его про­кати­ли по доске, пе­река­тывая через ребра, так что кубик побывал на всех клетках (на не­кото­рых, возможно, нес­коль­ко раз). Могло ли слу­чить­ся, что одна из его граней ни разу не лежала на доске?
	А. В. Ша­пова­лов
4	4. В не­кото­рой школе более 90% учеников знают анг­лий­ский и немецкий языки, и более 90% учеников знают анг­лий­ский и фран­цузс­кий языки. Докажите, что среди учеников, знающих немецкий и фран­цузс­кий языки, более 90% знают анг­лий­ский язык.
	Фольклор, пред­ло­жил А. Шень
4	5. Концы N хорд раз­де­лили ок­ружность на 2N дуг еди­нич­ной длины. Известно, что каждая из хорд делит ок­ружность на две дуги четной длины. Докажите, что число N четно.
	В. В. Про­из­во­лов

ТРИДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Осенний тур, 10 — 11 классы, базовый вариант, 10 октября 2010 г. (Итог под­во­дит­ся по трем задачам, по которым дос­тигну­ты на­илуч­шие ре­зуль­та­ты, баллы за пункты одной задачи сум­ми­ру­ют­ся.)

баллы	задачи
	1. Банкомат об­ме­нива­ет монеты: дублоны на пистоли и наоборот. Пистоль стоит s дублонов, а дублон — 1/s пистолей, где s — не обя­затель­но целое. В банкомат можно вбросить любое число монет одного вида, после чего он выдаст в обмен монеты другого вида, округляя ре­зуль­тат до бли­жай­ше­го целого числа (если бли­жай­ших чисел два, вы­бира­ет­ся большее).
2	а) Может ли так быть, что обменяв сколько-то дублонов на пистоли, а затем обменяв по­лучен­ные пистоли на дублоны, мы получим больше дублонов, чем было вначале?
3	б) Если да, то может ли слу­чить­ся, что по­лучен­ное число дублонов еще уве­личит­ся, если про­делать с ними такую же операцию?
	Л. Стунжас
	2. Ди­аго­нали вы­пук­ло­го че­тыре­хуголь­ни­ка ABCD пер­пенди­куляр­ны и пе­ресе­ка­ют­ся в точке O. Известно, что сумма радиусов ок­ружнос­тей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки AOB и COD, равна сумме радиусов ок­ружнос­тей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки BOC и DOA. Докажите, что
2	а) че­тыре­хуголь­ник ABCD — опи­сан­ный;
3	б) че­тыре­хуголь­ник ABCD сим­метри­чен от­но­ситель­но одной из своих ди­аго­налей.
	П. А. Ко­жев­ни­ков
5	3. По­лицей­ский участок рас­по­ложен на прямой дороге, бес­ко­неч­ной в обе стороны. Некто угнал старую по­лицей­скую машину, мак­си­маль­ная скорость которой сос­тавля­ет 90% от мак­си­маль­ной скорости новой машины. В не­кото­рый момент в участке спох­ва­тились и послали вдогонку по­лицей­ско­го на новой по­лицей­ской машине. Однако вот беда: по­лицей­ский не знал, ни когда машина была угнана, ни в каком нап­равле­нии вдоль дороги уехал угонщик. Сможет ли по­лицей­ский поймать угонщика?
	Г. А. Галь­пе­рин
5	4. Квад­ратная доска nxn раз­де­лена на n2 пря­мо­уголь­ных клеток n−1 го­ризон­таль­ны­ми и n−1 вер­ти­каль­ны­ми прямыми. Клетки раск­ра­шены в шах­матном порядке. Известно, что на одной ди­аго­нали все n клеток черные и квад­ратные. Докажите, что общая площадь всех черных клеток доски не меньше общей площади белых.
	П. А. Ко­жев­ни­ков
5	5. 55 боксеров участ­во­вали в турнире по системе «про­иг­равший выбывает». Бои шли пос­ле­дова­тель­но. Известно, что у участ­ни­ков каждого боя число пре­дыду­щих побед от­ли­чалось не более чем на 1. Какое на­иболь­шее число боев мог провести по­беди­тель турнира?
	А. В. Ша­пова­лов

ТРИДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Осенний тур, 8 — 9 классы, сложный вариант, 24 октября 2010 г. (Итог под­во­дит­ся по трём задачам, по которым дос­тигну­ты на­илуч­шие ре­зуль­та­ты)

---

баллы	задачи
4	1. На плос­кости дана прямая. С помощью пятака пост­рой­те две точки какой-нибудь прямой, пер­пенди­куляр­ной данной. Раз­ре­ша­ют­ся такие операции: отметить точку, при­ложить пятак к ней и обвести его; отметить две точки (на расс­то­янии меньше диаметра пятака), при­ложить пятак к ним и обвести его. Нет воз­можнос­ти прик­ла­дывать пятак к прямой так, чтобы она его касалась.
	Г. Фельдман
5	2. Петя умеет на любом отрезке отмечать точки, которые делят этот отрезок пополам или в от­но­шении n:(n+1), где n — любое на­тураль­ное число. Петя ут­верж­да­ет, что этого дос­та­точ­но, чтобы на любом отрезке отметить точку, которая делит его в любом заданном ра­ци­ональ­ном от­но­шении. Прав ли он?
	Б. Р. Френкин
8	3. На коль­це­вом треке 10 ве­лоси­педис­тов стар­то­вали од­новре­мен­но из одной точки и поехали с пос­то­ян­ны­ми раз­личны­ми ско­рос­тя­ми (в одну сторону). Если после старта два ве­лоси­педис­та снова ока­зыва­ют­ся од­новре­мен­но в одной точке, назовем это встречей. До полудня любые два ве­лоси­педис­та встре­тились хотя бы раз, при этом никакие три или больше не встре­чались од­новре­мен­но. Докажите, что до полудня у любого ве­лоси­педис­та было не менее 25 встреч.
	Б. Р. Френкин
8	4. Клет­ча­тый пря­мо­уголь­ник разбит на двук­ле­точ­ные домино. В каждом домино провели одну из двух ди­аго­налей. Ока­залось, что никакие ди­аго­нали не имеют общих концов. Докажите, что ровно два из четырех углов пря­мо­уголь­ни­ка являются концами ди­аго­налей.
	А. В. Ша­пова­лов
8	5. Имеется пя­ти­уголь­ник. Для каждой стороны поделим ее длину на сумму длин всех ос­таль­ных сторон. Затем сложим все по­лучив­ши­еся дроби. Докажите, что по­лучен­ная сумма будет всегда меньше 2.
	Г. А. Галь­пе­рин
8	6. В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC на высоте BH выбрана про­из­воль­ная точка P. Точки A′ и C′ — середины сторон BC и AB со­от­ветс­твен­но. Пер­пенди­куляр из A′ на CP пе­ресе­ка­ет­ся с пер­пенди­куля­ром из C′ на AP в точке K. Докажите, что точка K рав­но­уда­лена от точек A и C.
	Ф. А. Ивлев
12	7. За круглым столом заседают N рыцарей. Каждое утро чародей Мерлин сажает их в другом порядке. Начиная со второго дня Мерлин разрешил рыцарям делать в течение дня сколько угодно пе­реса­док такого вида: два сидящих рядом рыцаря меняются местами, если только они не были соседями в первый день. Рыцари ста­ра­ют­ся сесть в том же порядке, что и в какой-нибудь из пре­дыду­щих дней: тогда за­седа­ния прек­ра­тят­ся. Какое на­иболь­шее число дней Мерлин га­ран­ти­рован­но может про­водить за­седа­ния? (Рассадки, по­луча­ющиеся друг из друга по­воро­том, счи­та­ют­ся оди­нако­выми. Мерлин за столом не сидит.)
	М. В. Прасолов

ТРИДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Осенний тур, 10 — 11 классы, сложный вариант, 24 октября 2010 г. (Итог под­во­дит­ся по трём задачам, по которым дос­тигну­ты на­илуч­шие ре­зуль­та­ты, баллы за пункты одной задачи сум­ми­ру­ют­ся.)

---

баллы	задачи
	1. В некой стране 100 городов (города считайте точками на плос­кости). В спра­воч­ни­ке для каждой пары городов имеется запись, каково расс­то­яние между ними (всего 4950 записей).
2	а) Одна запись стерлась. Всегда ли можно од­нознач­но восс­та­новить ее по ос­таль­ным?
3	б) Пусть стерлись k записей, и известно, что в этой стране никакие три города не лежат на одной прямой. При каком на­иболь­шем k всегда можно од­нознач­но восс­та­новить стер­ши­еся записи?
	И. И. Богданов
6	2. На коль­це­вом треке 2N ве­лоси­педис­тов стар­то­вали од­новре­мен­но из одной точки и поехали с пос­то­ян­ны­ми раз­личны­ми ско­рос­тя­ми (в одну сторону). Если после старта два ве­лоси­педис­та снова ока­зыва­ют­ся од­новре­мен­но в одной точке, назовем это встречей. До полудня любые два ве­лоси­педис­та встре­тились хотя бы раз, при этом никакие три или больше не встре­чались од­новре­мен­но. Докажите, что до полудня у любого ве­лоси­педис­та было не менее N2 встреч.
	Б. Р. Френкин
6	3. Имеется мно­го­уголь­ник. Для каждой стороны поделим ее длину на сумму длин всех ос­таль­ных сторон. Затем сложим все по­лучив­ши­еся дроби. Докажите, что по­лучен­ная сумма будет всегда меньше 2.
	Г. А. Галь­пе­рин
	4. Два мага сра­жа­ют­ся друг с другом. Вначале они оба парят над морем на высоте 100 м. Маги по очереди при­меня­ют зак­ли­нания вида «умень­шить высоту парения над морем на a м у себя и на b м у со­пер­ни­ка», где a, b — дей­стви­тель­ные числа, 0 < a < b. Набор зак­ли­наний у магов один и тот же, их можно ис­поль­зо­вать в любом порядке и не­од­нократ­но. Маг вы­иг­ры­ва­ет дуэль, если после чьего-либо хода его высота над морем будет по­ложи­тель­на, а у со­пер­ни­ка — нет. Су­щест­ву­ет ли такой набор зак­ли­наний, что второй маг может га­ран­ти­рован­но выиграть (как бы ни дей­ство­вал первый), если при этом число зак­ли­наний в наборе
2	а) конечно;
5	б) бес­ко­неч­но?
	И. В. Мит­ро­фанов
8	5. Че­тыре­хуголь­ник ABCD вписан в ок­ружность с центром O, причем точка O не лежит ни на одной из ди­аго­налей этого че­тыре­хуголь­ни­ка. Известно, что центр опи­сан­ной ок­ружнос­ти тре­уголь­ни­ка AOC лежит на прямой BD. Докажите, что центр опи­сан­ной ок­ружнос­ти тре­уголь­ни­ка BOD лежит на прямой AC.
	Ф. А. Ивлев
12	6. В каждой клетке таблицы 1000×1000 стоит ноль или единица. Докажите, что можно либо вы­черк­нуть 990 строк так, что в любом столбце будет хотя бы одна не­вычерк­ну­тая единица, либо вы­черк­нуть 990 столбцов так, что в любой строке будет хотя бы один не­вычерк­ну­тый нуль.
	А. Ро­мащен­ко
14	7. Квадрат ABCD разрезан на оди­нако­вые пря­мо­уголь­ни­ки с целыми длинами сторон. Фигура F является объ­еди­нени­ем всех пря­мо­уголь­ни­ков, имеющих общие точки с ди­аго­налью AC. Докажите, что AC делит площадь фигуры F пополам.
	В. В. Про­из­во­лов

ТРИДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Весенний тур, 8 - 9 классы, базовый вариант, 27 февраля 2011 г. (Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)

баллы	задачи
3	1. По кругу написаны все целые числа от 1 по 2010 в таком порядке, что при движении по часовой стрелке числа поочередно то возрастают, то убывают. Докажите, что разность каких-то двух чисел, стоящих рядом, четна.
	Б. Р. Френкин
4	2. Прямоугольник разбили на 121 прямоугольную клетку десятью вертикальными и десятью горизонтальными прямыми. У 111 клеток периметры целые. Докажите, что и у остальных десяти клеток периметры целые.
	А. В. Шаповалов
5	3. Длина взрослого червяка 1 метр. Если червяк взрослый, его можно разрезать на две части в любом отношении длин. При этом получаются два новых червяка, которые сразу начинают расти со скоростью 1 метр в час каждый. Когда длина червяка достигает метра, он становится взрослым и прекращает расти. Можно ли из одного взрослого червяка получить 10 взрослых червяков быстрее чем за час?
	М. А. Хачатурян
5	4. Дан выпуклый четырехугольник. Если провести в нем любую диагональ, он разделится на два равнобедренных треугольника. А если провести в нем обе диагонали сразу, он разделится на четыре равнобедренных треугольника. Обязательно ли этот четырехугольник - квадрат?
	В. Шевяков
	5. Дракон заточил в темницу рыцаря и выдал ему 100 разных монет, половина из которых волшебные (какие именно - знает только дракон). Каждый день рыцарь раскладывает все монеты на две кучки (не обязательно равные). Если в кучках окажется поровну волшебных монет или поровну обычных, дракон отпустит рыцаря. Сможет ли рыцарь гарантированно освободиться не позже, чем
2	а) на 50-й день?
3	б) на 25-й день?
	жюри по мотивам задачи А. В. Шаповалова

ТРИДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Весенний тур, 10 - 11 классы, базовый вариант, 27 февраля 2011 г. (Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты.)

баллы	задачи
3	1. Грани выпуклого многогранника - подобные треугольники. Докажите, что многогранник имеет две пары равных граней (одну пару равных граней и еще одну пару равных граней).
	В. В. Произволов
4	2. Длина взрослого червяка 1 метр. Если червяк взрослый, его можно разрезать на две части в любом отношении длин. При этом получаются два новых червяка, которые сразу начинают расти со скоростью 1 метр в час каждый. Когда длина червяка достигает метра, он становится взрослым и прекращает расти. Можно ли из одного взрослого червяка получить 10 взрослых червяков быстрее чем за час?
	М. А. Хачатурян
4	3. По кругу лежат 100 белых камней. Дано целое число k в пределах от 1 до 50. За ход разрешается выбрать любые k подряд идущих камней, первый и последний из которых белые, и покрасить первый и последний камни в черный цвет. При каких k можно за несколько таких ходов покрасить все 100 камней в черный цвет?
	А. Бердников
5	4. Четыре перпендикуляра, опущенные из вершин выпуклого пятиугольника на противоположные стороны, пересекаются в одной точке. Докажите, что пятый такой перпендикуляр тоже проходит через эту точку.
	фольклор, предложил А. А. Заславский
5	5. В стране 100 городов и несколько дорог. Каждая дорога соединяет два каких-то города, дороги не пересекаются. Из каждого города можно добраться до любого другого, двигаясь по дорогам. Докажите, что можно объявить несколько дорог главными так, чтобы из каждого города выходило нечетное число главных дорог.
	А. Шень

ТРИДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Весенний тур, 8 - 9 классы, сложный вариант, 13 марта 2011 г. (Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты)

---

баллы	задачи
4	1. Можно ли какой-нибудь шестиугольник разбить одной прямой на четыре равных треугольника?
	Н. П. Стрелкова
4	2. Через начало координат проведены прямые (включая оси координат), которые делят координатную плоскость на углы в 1°. Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих прямых с прямой y=100−x.
	А. В. Шаповалов
5	3. У барона Мюнхгаузена есть 50 гирь. Веса этих гирь - различные натуральные числа, не превосходящие 100, а суммарный вес гирь - четное число. Барон утверждает, что нельзя часть этих гирь положить на одну чашу весов, а остальные - на другую чашу так, чтобы весы оказались в равновесии. Могут ли эти слова барона быть правдой?
	А. К. Толпыго
6	4. Докажите, что для любого натурального числа N найдутся такие две пары натуральных чисел, что суммы в парах одинаковы, а произведения отличаются ровно в N раз.
	Б. Р. Френкин
7	5. Дан остроугольный треугольник ABC; AA1, BB1 - его высоты. Из точки A1 опустили перпендикуляры на стороны AC и AB, а из точки B1 опустили перпендикуляры на стороны BC и BA. Докажите, что основания перпендикуляров образуют равнобокую трапецию.
	Г. Фельдман
10	6. Два муравья проползли каждый по своему замкнутому маршруту на доске 7×7. Каждый полз только по сторонам клеток доски и побывал в каждой из 64 вершин клеток ровно один раз. Каково наименьшее возможное число таких сторон, по которым проползали и первый, и второй муравьи?
	А. А. Заславский
10	7. Дана квадратная таблица, в каждой клетке записано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна a, а в каждом столбце таблицы сумма двух наибольших чисел равна b. Докажите, что a=b.
	R. B. Bapat

ТРИДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ

Весенний тур,

10 - 11 классы, сложный вариант, 13 марта 2011 г.

(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)

---

баллы	задачи
4	1. У барона Мюнхгаузена есть 50 гирь. Веса этих гирь - различные натуральные числа, не превосходящие 100, а суммарный вес гирь - четное число. Барон утверждает, что нельзя часть этих гирь положить на одну чашу весов, а остальные - на другую чашу так, чтобы весы оказались в равновесии. Могут ли эти слова барона быть правдой?
	А. К. Толпыго
6	2. В пространстве с декартовой системой координат дан прямоугольный параллелепипед, вершины которого имеют целочисленные координаты. Его объем равен 2011. Докажите, что ребра параллелепипеда параллельны координатным осям.
	М. И. Малкин
	3. От балки в форме треугольной призмы с двух сторон отпилили (плоской пилой) по куску. Спилы не задели ни оснований, ни друг друга.
3	а) Могут ли спилы быть подобными, но не равными треугольниками?
4	б) Может ли один спил быть равносторонним треугольником со стороной 1, а другой - равносторонним треугольником со стороной 2?
	А. В. Шаповалов - п. а), П. В. Сергеев - п. б)
	4. Даны N синих и N красных палочек, причем сумма длин синих палочек равна сумме длин красных. Известно, что из синих палочек можно сложить N-угольник, и из красных - тоже. Всегда ли можно выбрать одну синюю и одну красную палочки и перекрасить их (синюю - в красный цвет, а красную - в синий) так, что снова из синих палочек можно будет сложить N-угольник, и из красных - тоже? Решите задачу
4	а) для N=3;
4	б) для произвольного натурального N, большего 3.
	А. В. Грибалко
8	5. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD являются соответственно хордами окружностей ω1 и ω2, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг AB и CD равны α и β. Окружности ω3 и ω4 также имеют хорды AB и CD соответственно. Их дуги AB и CD, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω3 и ω4 тоже касаются.
	Ф. А. Ивлев
8	6. Дана квадратная таблица, в каждой клетке записано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна a, а в каждом столбце таблицы сумма двух наибольших чисел равна b. Докажите, что a=b.
	R. B. Bapat
11	7. Две фирмы по очереди нанимают программистов, среди которых есть 11 гениев. Первого программиста каждая фирма выбирает произвольно, а каждый следующий должен быть знаком с кем-то из ранее нанятых данной фирмой. Если фирма не может нанять программиста по этим правилам, она прекращает прием, а другая может продолжать. Список программистов и их знакомств заранее известен, включая информацию о том, кто гении. Могут ли знакомства быть устроены так, что фирма, вступающая в игру второй, сможет нанять 10 гениев, как бы ни действовала первая фирма?
	А. В. Шаповалов