0
  

Двадцать шестой Турнир Городов, 2004-2005


ДВАДЦАТЬ ШЕСТОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур.
8-9 кл., тренировочный вариант, 17 октября 2004 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются)
баллы  задачи

         1. Можно ли целые числа от 1 до 2004 расставить в не-
   3        котором порядке так, чтобы сумма любых 10-ти под-
            ряд делилась на 10?

         2. В ящике лежат 111 шариков красного, синего,
   4        зелёного и белого цвета. Если, не заглядывая в
            ящик, вытащить 100 шариков, то среди них обяза-
            тельно найдутся 4 шарика различных цветов. Какое
            наименьшее число шариков нужно вытащить, не загля-
            дывая в ящик, чтобы среди них наверняка нашлись 3
            шарика различных цветов?

         3. Имеется несколько городов, некоторые из них соеди-
   4        нены автобусными маршрутами (без остановок в пу-
            ти). Из любого города можно проехать в любой (воз-
            можно, с пересадками). Иванов купил по одному
            билету на каждый маршрут (то есть может проехать
            по нему один раз всё равно в какую сторону). Пет-
            ров купил n билетов на каждый маршрут. Иванов и
            Петров выехали из города A. Иванов использовал все
            свои билеты, новых не покупал и оказался в другом
            городе B. Петров некоторое время ездил по куплен-
            ным билетам, оказался в городе X и не может из не-
            го выехать, не купив новый билет. Докажите, что X
            - это либо A, либо B.

         4. Даны окружность и прямая, не пересекающая окруж-
   5        ность. Как с помощью циркуля и линейки построить
            квадрат, две соседние вершины которого лежат на
            данной окружности, а две другие вершины - на дан-
            ной прямой (если известно, что такой квадрат су-
            ществует)?

         5. Сколько существует разных способов разбить число
   5        2004 на целые положительные слагаемые, которые
            приблизительно равны? Слагаемых может быть одно
            или несколько. Числа называются приблизительно
            равными, если их разность не больше 1. Способы,
            отличающиеся только порядком слагаемых, считаются
            одинаковыми.


ДВАДЦАТЬ ШЕСТОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур.
10-11 кл., тренировочный вариант, 17 октября 2004 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются)
баллы  задачи

         1. Три окружности проходят через точку X. A, B, C -
   3        точки их пересечения, отличные от X. A' - вторая
            точка пересечения прямой AX и окружности, описан-
            ной около треугольника BCX. Точки B' и C' опреде-
            ляются аналогично. Докажите, что треугольники
            ABC', AB'C и A'BC подобны.

         2. В ящике лежат 100 шариков белого, синего и красно-
   3        го цвета. Если, не заглядывая в ящик, вытащить 26
            шариков, то среди них обязательно найдутся 10 ша-
            риков одинакового цвета. Какое наименьшее число
            шариков нужно вытащить, не заглядывая в ящик, что-
            бы среди них наверняка нашлись 30 шариков одинако-
            вого цвета?

         3. Даны два многочлена положительной степени P(x) и Q
   4        (x), причём выполнены тождества P(P(x))=Q(Q(x)) и
            P(P(P(x)))=Q(Q(Q(x))). Обязательно ли тогда выпол-
            нено тождество P(x)=Q(x)?

         4. Сколько существует разных способов разбить число
   4        2004 на целые положительные слагаемые, которые
            приблизительно равны? Слагаемых может быть одно
            или несколько. Числа называются приблизительно
            равными, если их разность не больше 1. Способы,
            отличающиеся только порядком слагаемых, считаются
            одинаковыми.

         5. При каких N можно числа от 1 до N расставить в
   5        другом порядке так, чтобы среднее арифметическое
            любой группы из двух или более подряд идущих чисел
            не было целым?


ДВАДЦАТЬ ШЕСТОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур.
8-9 кл., основной вариант, 24 октября 2004 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются)
баллы  задачи

         1. Назовем треугольник рациональным, если все его уг-
  4         лы измеряются рациональным числом градусов. Назо-
            вем точку внутри треугольника рациональной, если
            соединив ее отрезками с вершинами, мы получим три
            рациональных треугольника. Докажите, что внутри
            любого остроугольного рационального треугольника
            найдутся как минимум три различные рациональные
            точки.

         2. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается
  5         сторон BC, CA и AB в точках A', B' и C' соответс-
            твенно. Известно, что AA' = BB' = CC'. Обязательно
            ли тогда треугольник ABC равносторонний?

         3. Какое наибольшее число коней можно расставить на
  6         шахматной доске 8*8, так чтобы каждый бил не более
            семи из остальных?

         4. Ваня задумал два положительных числа x и y. Он за-
  6         писал числа x+y, x-y, xy и x/y и показал Пете, но
            не сказал, какое число какой операцией получено.
            Докажите, что Петя может однозначно восстановить x
            и y.

         5. В треугольнике ABC на стороне BC отмечена точка K.
  7         В треугольники ABK и ACK вписаны окружности, пер-
            вая касается стороны BC в точке M, вторая - в точ-
            ке N. Докажите, что BM*CN > KM*KN.

         6. Двое делят кусок сыра. Сначала первый режет сыр на
  8         два куска, потом второй - любой из кусков на два и
            так далее, пока не получится 5 кусков. Затем пер-
            вый берет себе один кусок, потом второй - один из
            оставшихся кусков, потом снова первый - и так, по-
            ка куски не закончатся. Для каждого игрока выясни-
            те, какое наибольшее количество сыра он может себе
            гарантировать, как бы ни играл его соперник.

         7. A и B - два прямоугольника. Из прямоугольников,
  8         равных A, сложили прямоугольник, подобный B. Дока-
            жите, что из прямоугольников, равных B, можно сло-
            жить прямоугольник, подобный A.


ДВАДЦАТЬ ШЕСТОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур.
10-11 кл., основной вариант, 24 октября 2004 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются)
баллы  задачи

         1. Функции f и g определены на всей числовой прямой и
  5         взаимно обратны, то есть g(f(x)) = x и f(g(y)) = y
            для любых чисел x и y. Известно, что f представля-
            ется в виде суммы линейной и периодической функций
            (то есть f(x) = kx+h(x), где k - число, h - перио-
            дическая функция). Докажите, что g также представ-
            ляется в таком виде. (Функция h называется перио-
            дической, если найдется такое ненулевое число d,
            что h(x+d) = h(x) для любого числа x).

         2. Двое играют в следующую игру. Есть кучка камней.
  5         Первый каждым своим ходом берет 1 или 10 камней.
            Второй каждым своим ходом берет m или n камней.
            Ходят по очереди, начинает первый. Тот, кто не мо-
            жет сделать хода, проигрывает. Известно, что при
            любом начальном количестве камней первый всегда
            может играть так, чтобы выиграть (при любой игре
            второго). Какими могут быть m и n?

         3. Ваня задумал два положительных числа x и y. Он за-
  5         писал числа x+y, x-y, xy и x/y и показал Пете, но
            не сказал, какое число какой операцией получено.
            Докажите, что Петя может однозначно восстановить x
            и y.

         4. Окружность с центром I лежит внутри окружности с
  6         центром O. Найдите геометрическое место центров
            описанных окружностей треугольников IAB, где AB -
            хорда большей окружности, касающаяся меньшей.

         5. A и B - два прямоугольника. Из прямоугольников,
  7         равных A, сложили прямоугольник, подобный B. Дока-
            жите, что из прямоугольников, равных B, можно сло-
            жить прямоугольник, подобный A.

         6. Дано простое число n, большее трех.
  8         Назовем треугольник разрешенным, если все его углы
            имеют вид
                 o
            m*180
            ------ (m умножить на 180 градусов, делить на n),
              n
            где m - целое.
            Одинаковыми будем считать разрешенные треугольники
            с одинаковым набором углов (то есть подобные).
            Вначале дан один разрешенный треугольник. Каждую
            минуту один из имеющихся треугольников разрезают
            на два разрешенных так, чтобы после разрезания все
            имеющиеся треугольники были не одинаковыми (то
            есть не подобными). Спустя некоторое время оказа-
            лось, что ни один из треугольников так разрезать
            нельзя. Докажите, что к этому моменту среди имею-
            щихся частей есть все возможные разрешенные треу-
            гольники.

         7. Углы AOB и COD совмещаются поворотом так, что луч
  8         OA совмещается с лучом OC, а луч OB - с OD.В них
            вписаны окружности, пересекающиеся в точках E и
            F. Докажите, что углы AOE и DOF равны.


ДВАДЦАТЬ ШЕСТОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур.
8-9 кл., тренировочный вариант, 20 февраля 2005 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются)
1. (3 балла) Одновременно из деревень А и Б навстречу друг
другу вышли Аня и Боря (их скорости постоянны, но не
обязательно одинаковы). Если бы Аня вышла на 30 минут
раньше, то они встретились бы на 2 километра ближе
к деревне Б. Если бы Боря вышел на 30 минут раньше, то
встреча состоялась бы ближе к деревне А. На сколько?

2. (4 балла) Пусть N - любое натуральное число. Докажите,
что в десятичной записи либо числа N, либо числа 3N найдется
одна из цифр 1, 2, 9.

3. (5 баллов) В первом ряду шахматной доски стоят 8 одинаковых
черных ферзей, а в последнем ряду - 8 одинаковых белых ферзей.
За какое минимальное число ходов белые ферзи могут обменяться
местами с черными? Ходят белые и черные по очереди, по одному
ферзю за ход. Ферзь ходит по вертикали, горизонтали или диагонали
на любое число клеток (если на его пути нет других ферзей).

4. (5 баллов) Дан квадрат ABCD, M и N - середины сторон BC и AD
соответственно. На продолжении диагонали AC за точку A взяли
точку K. Отрезок KM пересекает сторону AB в точке L. Докажите,
что углы KNA и LNA равны.

5. (5 баллов) В некотором городе все дороги идут только в одном
из двух перпендикулярных друг другу направлениях. Автомобилист
совершил прогулку по этому городу, сделав ровно сто поворотов
налево. Сколько поворотов направо он мог сделать при этом, если
никакое место он не проезжал дважды и в конце вернулся назад?

ДВАДЦАТЬ ШЕСТОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур.
10-11 кл., тренировочный вариант, 20 февраля 2005 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются)

1. (3 балла) На координатной плоскости нарисованы 4 графика функций
вида y=x^2+ax+b, где a, b - числовые коэффициенты. Известно, что
есть ровно 4 точки пересечения, причем в каждой пересекаются ровно
два графика. Докажите, что сумма наибольшей и наименьшей из абсцисс
точек пересечения равна сумме двух других абсцисс.

2. Все натуральные числа выписали подряд без промежутков на бесконечную
ленту: 123456789101112... Затем ленту разрезали на полоски по 7 цифр
в каждой. Докажите, что любое семизначное число
а) (3 балла) встретится хотя бы на одной из полосок;
б) (1 балл) встретится на бесконечном числе полосок.

3. (4 балла) Дан квадрат ABCD, M и N - середины сторон BC и AD
соответственно. На продолжении диагонали AC за точку A взяли
точку K. Отрезок KM пересекает сторону AB в точке L. Докажите,
что углы KNA и LNA равны.

4. (4 балла) В некотором городе все дороги идут только в одном
из двух перпендикулярных друг другу направлениях. Автомобилист
совершил прогулку по этому городу, сделав ровно сто поворотов
налево. Сколько поворотов направо он мог сделать при этом, если
никакое место он не проезжал дважды и в конце вернулся назад?

5. (5 баллов) Сумма нескольких положительных чисел равна 10,
а сумма квадратов этих чисел больше 20. Докажите, что сумма кубов
этих чисел больше 40.

ДВАДЦАТЬ ШЕСТОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур.
8-9 кл., основной вариант, 27 февраля 2005 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются)
1. (4 балла) На графике квадратного трехчлена с целыми коэффи-
циентами отмечены две точки с целыми координатами. Докажите,
что если расстояние между ними - целое число, то соединяющий
их отрезок параллелен оси абсцисс.

2. (5 баллов) Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в
точке H. Точки X и Y - середины отрезков AB и CH соответствен-
но. Докажите, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.

3. (5 баллов) На циферблате правильно идущих часов барона
Мюнхгаузена есть только часовая, минутная и секундная стрелки,
а все цифры и деления стерты. Барон утверждает, что может
определять время по этим часам, поскольку, по его наблюдению,
на них в течение дня (с 8-00 до 19-59) не повторяется два раза
одно и то же расположение стрелок. Верно ли наблюдение барона?
(Стрелки имеют различную длину, движутся равномерно.)

4. Клетчатый бумажный прямоугольник 10*12 согнули несколько
раз по линиям клеток так, что получился квадратик 1*1. Сколько
частей могло получиться после того, как этот квадратик разре-
зали по отрезку, соединяющему
а) (2 балла) середины двух его противоположных сторон;
б) (4 балла) середины двух его соседних сторон?
(Найдите все ответы и докажите, что других нет.)

5. (6 баллов) Конструктор состоит из набора прямоугольных па-
раллелепипедов. Все их можно поместить в одну коробку, также
имеющую форму прямоугольного параллелепипеда. В бракованном
наборе у каждого параллелепипеда одно из ребер оказалось мень-
ше стандартного. Можно ли утверждать, что у коробки, в которую
складывается набор, тоже можно уменьшить одно из ребер? (Па-
раллелепипеды укладываются в коробку так, что их ребра парал-
лельны ребрам коробки.)

6. (6 баллов) Фома и Ерема делят кучу из 25 монет в 1, 2, 3,
... , 25 алтынов. На каждом ходу один из них выбирает монету
из кучи, а другой говорит, кому ее отдать. Первый раз выбирает
Фома, далее тот, у кого сейчас больше алтынов, при равенстве -
тот же, кто в прошлый раз. Может ли Фома действовать так, что-
бы в итоге обязательно получить больше алтынов, чем Ерема, или
Ерема всегда сможет Фоме помешать?

7. (8 баллов) Клетки шахматной доски 8*8 занумерованы по диа-
гоналям, идущим влево вниз, начиная с верхнего левого угла: 1;
следующая диагональ - 2, 3; следующая - 4, 5, 6; и так далее
(предпоследняя диагональ - 62, 63; последняя - 64). Петя рас-
ставил на доске 8 фишек так, чтобы в каждой строке и в каждом
столбце оказалось по одной фишке. Затем он переставил фишки
так, чтобы каждая фишка попала на клетку с б'ольшим номером.
Могло ли по-прежнему в каждой строке и в каждом столбце ока-
заться по одной фишке?

ДВАДЦАТЬ ШЕСТОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур.
10-11 кл., основной вариант, 27 февраля 2005 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются)
1. (4 балла) На графике многочлена с целыми коэффициентами от-
мечены две точки с целыми координатами. Докажите, что если
расстояние между ними - целое число, то соединяющий их отрезок
параллелен оси абсцисс.

2. (5 баллов) Окружность W_1 проходит через центр окружности
W_2. Из точки C на W_1 проведены касательные к W_2, вторично
пересекающие W_1 в точках A и B. Докажите, что отрезок AB пер-
пендикулярен прямой, проходящей через центры окружностей.

3. (5 баллов) Фома и Ерема делят кучу из 25 монет в 1, 2, 3,
... , 25 алтынов. На каждом ходу один из них выбирает монету
из кучи, а другой говорит, кому ее отдать. Первый раз выбирает
Фома, далее тот, у кого сейчас больше алтынов, при равенстве -
тот же, кто в прошлый раз. Может ли Фома действовать так, что-
бы в итоге обязательно получить больше алтынов, чем Ерема, или
Ерема всегда сможет Фоме помешать?

4. (6 баллов) Существует ли такой квадратный трехчлен f(x),
что для любого целого положительного n уравнение
                       f(f(...f(x)))=0
                        (n букв "f")
имеет ровно 2^n различных действительных корней?

5. (7 баллов) Икосаэдр и додекаэдр вписаны в одну и ту же
сферу. Докажите, что тогда они описаны вокруг одной и той же
сферы. (Напомним, что у икосаэдра 20 одинаковых граней в виде
правильного треугольника, в каждой вершине сходится 5 граней,
углы между соседними гранями одинаковы; у додекаэдра 12 одина-
ковых граней в виде правильного пятиугольника, в каждой верши-
не сходится 3 грани, углы между соседними гранями одинаковы.)

6. (7 баллов) Пусть a - угловая клетка шахматной доски 8*8, b
- соседняя с ней по диагонали клетка. Докажите, что число спо-
собов обойти всю доску "хромой ладьей", начиная с клетки a,
больше, чем число способов обойти всю доску "хромой ладьей",
начиная с клетки b. ("Хромая ладья" ходит по доске на одну
клетку по вертикали или горизонтали. Ладья должна побывать на
каждой клетке доски ровно один раз.)

7. В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены
отрезком, причем отрезки не пересекаются друг с другом. Каждый
отрезок покрашен в один из K цветов. Петя хочет покрасить в
один из тех же цветов каждую точку так, чтобы не нашлось двух
точек и отрезка между ними, окрашенных в один цвет. Всегда ли
Пете это удастся, если
а) (4 балла) K=7;
б) (4 балла) K=10 ?

Дизайн сайта
интернет агентство "MindBridge Group"