Задача 2. Почти арифметическая прогрессия
Предложена и представлялась К. Р. Салиховым.Вводные задачи
Определение. Будем называть множество точек X из полуинтервала [0,1) всюду плотным, если для любого полуинтервала [a,b) c [0,1) существует такая точка x1. Докажите, что если X всюду плотно на [0,1), то для любого полуинтервала [a,b) c [0,1) существует бесконечно много таких точек x
2.
а) Если a - рациональное число, то множество { {ka} | k
б) Если a - иррациональное число, то множество { {ka} | k
Для каждого фиксированного a и полуинтервала
[a,b) c [0,1) рассмотрим множество K тех натуральных значений k, при
которых {ka} c [a,b). Общая проблема состоит
в том, чтобы при данных a и [a,b) описать это
множество K. Так как K - подмножество N, то K
удобно представлять себе как возрастающую последовательность натуральных
чисел а0, а1, а2, ... (которая может, конечно,
не содержать ни одного члена, если K пусто). Наша цель будет состоять в
нахождении по данному номеру n числа an.
Основные задачи
Пусть m - натуральное число, 0 < a < 1/m. Для начала попытаемся найти множество K для числа a и полуинтервала [ma,1) c [0,1).Легко видеть, что a0 = m.
3. Докажите, что K бесконечно.
4. Найдите a1.
Подсказка 1. Докажите, что существует и единственно t
5. Пусть an и an+1 - два последовательных члена последовательности an. При каком условии (an+1-an)
6. Какие значения может принимать разность аn+1-an?
Подсказка 2. Подумайте, когда, например, {(an+a1)a}
7. Докажите, что (an-n) делится на m.
8. Докажите, что [ana] = (an-n)m-1 (где [x] - наибольшее целое число, не превосходящее x).
9. По данному n научитесь находить an.
10. Найдите все натуральные числа k, такие, что десятичная запись числа 3k начинается с цифры 9.
Задачи на исследование
11. Попробуйте заменить натуральное число m на какое-нибудь рациональное.12. Что произойдет, если мы заменим полуинтервал [ma,1) на полуинтервал [ma, (p/q)a), где p,q - натуральные числа?
